Notions et Concepts Clés
en Statistiques

Benoît Simon-Bouhet

La Rochelle Université

Préambule…

Ouvrage de référence

Très bon ouvrage pour démarrer les statistiques en écologie :

Nombreux exercices corrigés et beaucoup de méthodes abordées

Inférence et estimation

Population vs. échantillon
Outils pour quantifier l’incertitude

Définition

L’estimation est le processus permettant de déduire (inférer) une quantité inconnue d’une population grâce aux données d’un échantillon

Définition

Un paramètre est une quantité permettant de décrire une population.

Un estimateur (ou une statistique) est une quantité équivalente calculée grâce à un échantillon.

Tests d’hypothèses

Outre l’estimation, la deuxième utilisation la plus importante des statistiques est le test d’hypothèses.


Hypothèse statistique = affirmation spécifique au sujet d’un paramètre de la population.
Exemples


Dans cette section, nous verrons

comment les échantillons doivent être recueillis
quelles conclusions peuvent en être tirées
les différents types de variables que nous pouvons mesurer à partir des échantillons
divers termes et concepts que nous utiliserons tout au long de la formation

1. Échantillonner des populations naturelles

Exemple : chutes de …

Taux de blessures des chats qui tombent des bâtiments de NYC (Whitney & Mehlhaff 1987)

Feline High Rise Syndrome (FHRS)

Exemple : chutes de …

Comment expliquer cet effet ?

Les chats ont besoin de moins d’un étage pour retomber sur leurs pattes


Comment les données ont-elles été collectées ?

Aucun chat n’est tombé du RDC
Le nombre de chat tombé augmente à chaque étage entre le 1er et le 4e
Tous les chats qui tombent ne sont pas emmenés chez le vétérinaire : seul un échantillon est étudié


L’échantillon est biaisé !

Danger

Échantillon biaisé données déformées conclusions erronées

Propriétés d’un bon échantillon

Définition

L’erreur d’échantillonnage (sampling error) est l’écart entre un estimateur et la vraie valeur du paramètre de la population, causée par le hasard de l’échantillonnage.

La dispersion des estimateurs en raison de l’erreur d’échantillonnage renseigne sur la précision d’un estimateur

Plus l’erreur d’échantillonnage est faible , plus la précision est grande .

Outre la précision, un estimateur doit aussi être juste, ou non biaisé

Définition

Le biais est un écart systématique entre l’estimation que nous obtiendrions si nous pouvions échantillonner une population encore et encore, et la véritable caractéristique de la population.

Propriétés d’un bon échantillon

Précision vs. justesse

L’objectif principal de toute méthode d’échantillonnage est de minimiser à la fois l’erreur d’échantillonnage et les biais d’estimation.

Échantillonnage aléatoire

C’est une condition nécessaire pour toutes les méthodes statistiques que nous aborderons.

Un échantillon aléatoire issu d’une population doit vérifier deux critères :

Toutes les unités de la population ont la même chance d’intégrer l’échantillon
La sélection des unités est indépendante


Important

Dans un échantillon aléatoire, chaque membre de la population a une probabilité égale et indépendante d’être sélectionné

Important

L’échantillonnage aléatoire minimise les biais et rend possible la quantification de l’erreur d’échantillonnage

Comment prélever un échantillon aléatoire ?



Créer une liste de chaque unité de la population d’intérêt, et attribuer à chacun un numéro compris entre 1 et la taille de la population
Décider du nombre d’unités à échantillonner (en général, nommé \(n\))
À l’aide d’un générateur de nombre aléatoire, tirer au hasard \(n\) nombres entre 1 et le nombre total d’unités de la population
Collecter les unités dont les numéros ont été tirés au sort


C’est évidemment impossible pour les populations naturelles.

Une solution : grouper (parcelles, champs, lots, transects, cadrats…)

L’échantillon de convenance

À éviter à tout prix !

Définition

Un échantillon de convenance est une collection d’unités d’échantillonnage facilement accessibles à l’expérimentateur

Ça n’est pas un échantillon aléatoire et son principal problème est le biais :

Si seuls les chats qui arrivent jusqu’au cabinet vétérinaire sont examinés, le taux de blessures est probablement sous-estimé
L’effondrement de la pêcherie de morue de l’Atlantique Nord au siècle dernier a pour cause principale une surestimation des stocks disponibles (Walters & Maguire 1996)
L’ajout de renforts inefficaces aux niveaux des impacts de balles des avions de la British Royal Air Force pendant la seconde guerre mondiale

L’échantillon de convenance

À éviter à tout prix !

Définition

Un échantillon de convenance est une collection d’unités d’échantillonnage facilement accessibles à l’expérimentateur

Un échantillon de convenance peut aussi ne pas respecter la condition d’indépendance.

2. Tests d’hypothèses : les grand principes

Principe des tests statistiques

Les hypothèses


Notion d’inférence statistique :

On étudie une population à partir d’un échantillon
On tente de déterminer la valeur d’un paramètre à partir d’un estimateur


1. On formule une hypothèse nulle concernant la valeur d’un paramètre d’intérêt (e.g. la moyenne \(\mu\) de la population vaut 32.4)
2. On cherche à prendre une décision concernant cette hypothèse : sommes nous en mesure de la rejeter ou non, compte tenu des données dont nous disposons et de l’incertitude inhérente au processus d’inférence statistique ?

Principe des tests statistiques

Les hypothèses

Définition : hypotyhèse nulle

On la note H0. Elle porte toujours sur la valeur d’un paramètre de la population d’intérêt. L’hypothèse nulle est l’hypothèse “inintéressante”, celle qu’on aimerait bien rejeter car cela indiquerait que quelque chose d’intéressant, original, inattendu se passe dans la population étudiée.

Important

Outre H0, on formule aussi une hypothèse alternative opposée, notée HA ou H1.
La décision du test est toujours prise par rapport à H0.
Les hypothèses sont des affirmations, pas des questions !

Principe des tests statistiques

La statistique du test

Après les hypothèses, la statistique du test est le second ingrédient indispensable aux tests statistiques.

Statistique d’un test

C’est un nombre calculé à partir des données disponibles et dont on connaît la distribution théorique sous H0.
C’est ce nombre qui, indirectement, nous permettra de prendre une décision concernant le test statistique (et en particulier, le rejet ou non de H0).

Tout test statistique possède une statistique du test. En voici quelques exemples :

Test de normalité de Shapiro-Whilk : W ou Wcalc
Test d’homoscédasticité de Levene : F ou Fcalc
Test d’homoscédasticité de Bartlett : χ² ou χ²calc
Test de comparaison de moyennes de Student : t ou tcalc

Principe des tests statistiques

La valeur critique de la statistique du test

Principe des tests statistiques

La valeur critique de la statistique du test

Principe des tests statistiques

La décision


On compare la statistique du test à la valeur critique :

Si la statistique du test est supérieure ou égale à la valeur critique, on rejette H0 (et on valide donc HA).
Si la statistique du test est inférieure à la valeur critique, on ne peut pas rejeter H0.


Important

La décision du test se prend toujours par rapport à H0.
On ne dit jamais que H0 est vraie. Au mieux, on dit qu’on ne peut pas rejeter H0.

Principe des tests statistiques

La p-value

Aujourd’hui, on n’a plus besoin des valeurs critiques. On n’a plus besoin des tables statistiques : on utilise la \(p\)-value.

Principe des tests statistiques

La p-value

Mettons tout ça sur le même graphique :

Principe des tests statistiques

La p-value

Il y a donc équivalence entre les éléments suivants :

Statistique du test < valeur critique ⟺ p-value > \(\alpha\)
Statistique du test ≥ valeur critique ⟺ p-value ≤ \(\alpha\)


Important

Quand la p-value est inférieure ou égale au seuil \(\alpha\) (généralement fixé à 5% ou 0.05 dans le domaine des Sciences du Vivant), on rejette l’hypothèse nulle H0 du test statistique.
Sinon, on ne peut pas rejeter H0.

Dans R, toutes les fonctions permettant de réaliser des tests statistiques renvoient, au minimum, la valeur de la statistique du test, et la p-value associée.

À vous de choisir H0 et HA et de fixer \(\alpha\) avant de réaliser le test.

Principe des tests statistiques

La p-value

Définition : la p-value

Ça n’est pas la probabilité que H0 soit vraie ou fausse.
C’est la probabilité, si H0 est vraie, d’obtenir par hasard, un effet au moins aussi grand que celui qu’on a observé.

Exemple

Échantillon Moyenne
A \(\bar{x}_A = 10\)
B \(\bar{x}_B = 11\)

H0 : les moyennes des populations A et B sont égales, \(\mu_A = \mu_B\)
HA : les moyennes des populations A et B sont différentes, \(\mu_A \neq \mu_B\)

Si p-value = 0.021, on rejette H0
Si p-value = 0.49, on ne peut pas rejeter H0.

3. Tests d’hypothèses : les notions importantes

Notions importantes

Le seuil de significativité

C’est le seuil \(\alpha\). On le choisit une fois pour toutes avant de réaliser les tests.
À moins d’avoir une bonne raison de faire autrement, on fixe \(\alpha = 0.05\).
\(\alpha\) est également appelé l’erreur de type I.


Définition : erreur de type I

C’est la probabilité de rejeter à tort H0.
Autrement dit, puisque que tout accusé est présumé innocent (l’innocence de l’accusé est l’hypothèse nulle), \(\alpha\) est la probabilité de condamner un innocent.

Notions importantes

Les 2 types d’erreurs

Il existe un autre type d’erreur : l’erreur de type II, ou erreur \(\beta\).


Définition : erreur de type II

C’est la probabilité d’accepter à tort H0.
Autrement dit, c’est la probabilité de relâcher un coupable.


L’erreur de type II n’est pas sous notre contrôle ! Elle dépend notamment :

De la variabilité des données
De la taille de l’échantillon
Du type de test statistique réalisé

Notions importantes

La puissance statistique

Il s’agit d’une autre probabilité, qui dépend directement de l’erreur de type II.

On la note \(1 - \beta\).

Définition : puissance statistique (\(1 - \beta\))

C’est la probabilité de détecter un effet lorsqu’il y en a réellement un.
Autrement dit, c’est la probabilité de condamner un coupable.

On aimerait pouvoir maximiser la puissance. Augmenter la puissance revient à diminuer l’erreur de type II (erreur \(\beta\)).

Problème : diminuer \(\beta\), c’est augmenter \(\alpha\).
Globalement, si on libère moins d’accusés, on libère moins de coupables (on baisse l’erreur de type II), mais on condamne aussi plus de monde, y compris des innocents (on augmente l’erreur de type I).

Notions importantes

La puissance statistique





Les leviers dont nous disposons pour augmenter la puissance sont les mêmes que ceux dont nous disposons pour diminuer l’erreur de type II :

Augmenter la taille de l’échantillon
Faire des tests unilatéraux
Faire des tests paramétriques

Notions importantes

Tests unilatéraux et bilatéraux

Les tests unilatéraux sont plus puissants que les tests bilatéraux.
Toutefois, à moins d’avoir une bonne raison de faire le contraire, on choisit de préférence les tests bilatéraux.

Reprenons l’exemple examiné plus tôt :

Exemple

Échantillon Moyenne
A \(\bar{x}_A = 10\)
B \(\bar{x}_B = 11\)

L’hypothèse nulle est toujours H0 : les moyennes sont égales, \(\mu_A = \mu_B\)

Pour l’hypothèse alternative, nous avons 3 choix possibles :

1. Hypothèse bilatérale, HA : \(\mu_A \neq \mu_B\)
2. Hypothèse unilatérale, HA : \(\mu_A > \mu_B\)
3. Hypothèse unilatérale, HA : \(\mu_A < \mu_B\)

Notions importantes

Tests unilatéraux et bilatéraux

Pour chaque essai, un participant examine la photo d’une fille et de deux hommes adultes, dont l’un est le père de la fille.

Le participant doit deviner quel homme est le père.

H0 : Il n’y a aucune ressemblance entre les pères et les filles : les participants identifient le père correctement la moitié du temps \((p = \frac{1}{2})\).
HA : Il y a une ressemblance entre les pères et les filles : les participants identifient le père correctement plus souvent que la moitié du temps \((p > \frac{1}{2})\).

Définition

Dans un test unilatéral, l’hypothèse alternative inclut des valeurs de paramètre uniquement d’un côté de la valeur spécifiée par l’hypothèse nulle.
H0 est rejetée uniquement si les données s’écartent de celle-ci dans la direction spécifiée par HA.

Notions importantes

Tests paramétriques et non paramétriques

Définition : test paramétrique

Un test paramétrique est un test qui suppose que les données respectent un certain nombre de conditions qu’il conviendra de vérifier avant de réaliser le test (ou parfois après avoir réalisé le test, comme pour la régression linéaire et l’analyse de variance).


L’une de ces conditions est très souvent la normalité des données.

Les tests paramétriques sont plus puissants que les tests non paramétriques car les statistiques de ces tests sont calculées à partir des données observées non modifiées.

Notions importantes

Tests paramétriques et non paramétriques

Faire un test paramétrique pour comparer la moyenne de ces 2 populations n’aurait pas de sens :

La moyenne de ces 2 populations vaut 10. Pour autant, peut-on dire que ces 2 populations ont les mêmes caractéristiques ?

Notions importantes

Tests paramétriques et non paramétriques

Même chose pour ces 2 populations :

Ces 2 populations ont une distribution normale et même moyenne. Mais leurs variances diffèrent énormément.

Bibliographie

Walters C, Maguire J-J (1996) Lessons for Stock Assessment from the Northern Cod Collapse. Reviews in Fish Biology and Fisheries 6:125‑137.
Whitney WO, Mehlhaff CJ (1987) High–Rise Syndrome in Cats. Journal of the American Veterinary Medical Association 191:1399‑1403.